Zweiter Hauptsatz

Wir zeigen, dass unsere statistische Beschreibung den Hauptsätzen der Thermodynamik genügt und beginnen mit dem 2. Hne eauptsatz. Die wichtigsten Konsequenzen des 2. Hauptsatzes sind:

1. Die Entropie ist eine Zustandsgröße
2. In einem isolierten System ist die Entropie im Gleichgewicht maximal
3. aus Punkt 2.) folgt: bei spontan verlaufenden Prozessen hin zum Gleichgewicht vergrößert sich die Entropie

Durch die Gleichung

$$S = k k \ln{ [\Omega (E, V, N)] }$$

ist die Entropie automatisch eine eindeutige Funktion des Zustandes $E, V, N$. In Bezug auf Punkt 2.) gilt der wichtige Satz:

Die Entropie eines abgeschlossenen Systems ist genau dann maximal, wenn die Verteilung der Mikrozustände die mikrokanonische ist. Dann ist das System im Gleichgewicht. Definiere einen allgemeinen Satz von Wahrscheinlichkeiten $\{ w_i \}$ und $\sigma = S/k$, dann folgt

$$\sigma^{MK} - \sigma = \sum_{i = 1}^\Omega w_i \ln w_i + \ln \Omega$$ (2.42)

$$= \sum_{i = 1}^\Omega w_i \ln w_i + \sum_{i = 1}^\Omega w_i \ln \Omega$$ (2.43)

$$= \frac{1}{\Omega} \sum_{i = 1}^\Omega ( \underbrace{w_i \Omega}_{x_i} ) \quad \ln ( \underbrace{w_i \Omega}_{x_i})$$ (2.44)

$$= f(x_1, \cdots x_\Omega)$$ (2.45)

$$x_i = w_i \Omega$$ (2.46)

Zu zeigen unter der Nebenbedingung:

$$\sum_{i=1}^\Omega \omega_i \Omega = \sum_{i=1}^\Omega x_i = \Omega$$ (2.47)

hat die Funktion $f$ ein Minimum für $x_i = 1$

Trick: Addiere zu $f$

$$0 = \frac{1}{\Omega} \sum_{i= 1}^\Omega (1 - x_i)$$ (2.48)

$$\Rightarrow \qquad \sigma^{MK} - \sigma = \frac{1}{\Omega} \sum_{i=1}^\Omega (x_i \ln x_i + 1 - x_i )$$ (2.49)

$g(x) = x \ln x + 1 - x > 0 \qquad$ hat das Minimum bei 1, $g(1) = 0$

$x_i = 1 \qquad$ ist absolutes Minimum von $\sigma^{MK} - \sigma$ und erfüllt die Nebenbedingung $\sum_{i=1}^\Omega x_i = \Omega$.

$$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \qquad & \sigma^{MK} \ge \sigma \qquad \mbox{im Al... ...inen}\\ & \sigma^{MK} = \sigma \qquad \mbox{im Gleichgewicht} \end{eqnarray*}$$